#matematyka

#matematyka #geometria &źródło

Wynik?

#zagadka #matematyka

#matematyka #ciekawostki
Procesy Ito. Fajna rzecz do modelowania chaotycznych zjawisk, jak kurs akcji na giełdzie albo szansa na opady :d

Ostatnio wszechświat podsyła mi wielu szurów, ale new age matematyki to jeszcze nie widziałem xD

(Z grupy "matematyka - grupa wsparcia", co ciekawe to grupa o korepetycjach XD)

#matematyka #bekazszurow

#gielda #matematyka
tak teraz analizuje nowe konto oki, żeby policzyć co sie bardziej opłaca.
Podsumowując: podatek Belki wybieramy tylko jeżeli zainwestowaliśmy ponad 100k a nasz roczny zysk jest mniejszy niż 4.4%. W każdym innym wypadku wolimy konto OKI

No więc, przyjmijmy następujące oznaczenia:
Pb - Podatek Belki. Funkcja która przyjmuje kwote inwestycji (oznaczoną jako X) oraz zysk R-R (oznaczony jako z) i zwraca ile zapłacimy podatku
Pb(X, z) = X z Sb
gdzie Sb to wielkość podatku belki równa 0,19. Jest zastrzeżenie że zysk musi być dodatni

Po - Podatek z kontem OKI. Analogiczna funkcja do funkcji podatku Belki.
Po(X,z) = X (1+z) So
gdzie So to Stała OKI czyli kwota podatku 0.8-0.9% który płacimy od całej inwestycji, z zastrzeżeniem że nie zabiorą nam tyle żeby zostało nam mniej niż 100k.

Zastanawiamy się gdzie zapłacimy mniejszy podatek. Chcemy wyliczyć kiedy
Po(X, z) > Pb(X,z) czyli kiedy podatek na koncie OKI będzie do zapłaty wyższy niż gdybyśmy wybrali Belkę.
Podstawiamy ze wzoru
X (1+z) So > X z Sb | dzielimy obustronnie przez X
So + So z > z Sb | przenosimy wszystko z z na jedną strone
So > z (Sb - So) | dzielimy
So / (Sb-So) > z

co oznacza, że dopóki nasz zysk będzie procentowo mniejszy niż So / (Sb-So), to większy podatek zapłacimy decydując się na konto OKI.
Jeżeli jednak nasz zysk rok do roku będzie wyższy od tej wartości to belka nas będzie kosztować dużo więcej.
Wszystko przy założeniu inwestycji ponad 100k, oraz z założeniem że nie straciliśmy po roku, ale w tych przypadkach oczywistym jest co jest lepsze.

Pozostaje pytanie, ile wynosi ta granica?
Jako że podatek belki to zawsze 19%, a podatek z kontem OKI ma wynosić 0.8-0.9%
to ta granica opłacalności przesuwa się w górę kiedy rośnie podatek OKI, i wynosi 4.4-5% zysku R-R.
Czyli jeżeli jesteśmy na plusie mniej niż 4.4% ale inwestujemy ponad 100k to zawsze wolimy płacić belkę.
Jeżeli jesteśmy na plusie ponad 5% to zawsze wolimy konto OKI

Niby nic odkrywczego, ale wygląda ładnie.

#ciekawostki #matematyka

Kodek DIY

https://www.youtube.com/watch?v=2D2Bn-AnXjw

W skrócie - gość stworzył lekki kodek audio. Wielu to robiło, ja też (dawno temu). Ale tacy ludzie potrzebują promocji, bo wyważają na nowo już otwarte drzwi, z tym że w kreatywny sposób. Ponadto, takie materiały uczą podstaw, które z kolei umożliwiają zrozumienie bardziej złożonych mechanizmów (w tym przypadku kompresji danych).

#technologia #ciekawostki #matematyka #informatyka

Jak działa generowanie wideo?

https://www.youtube.com/watch?v=iv-5mZ_9CPY

Szczegółowe, ale raczej dla większości zrozumiałe, wyjaśnienie w zasadzie banalnego generowania obrazów i wideo przy użyciu modeli dyfuzyjnych - https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_model. Wyjaśnia jednocześnie powiązania tych modeli z fizyką i przestrzeniami fazowymi w matematyce.

#ciekawostki #nauka #matematyka

#matematyka #heheszkinauka

Ale sobie właśnie sam łeb rozjebałem.

Transformacja Fouriera to tak naprawdę działanie polegające na szukaniu konkretnych częstotliwości, które odjęte od fali bazowej znacząco jej nie zmienią :open_mouth: w sensie nie dodadzą żadnych artefaktów

#matematyka

Marzenie o matematycznej unifikacji

Matematyka to dosyć szeroka dziedzina. Tak szeroka, jak tylko możemy ją objąć, bo w praktyce nie ma ona granic. Jest również wewnętrznie różnorodna, acz różnice pomiędzy jej działami są często ogromne. Mimo jednak swej wewnętrznej różnorodności, wielu marzy o znalezieniu wspólnego mianownika dla wszystkich tych dziedzin, wspólnych fundamentów, pierwotnego wzorca, języka unifikacji. To się po prostu czuje, czasem widzi symptomy tych powiązań, ale brakuje pełnego zrozumienia współzależności.

W 2024 roku zespół dziewięciu matematyków pod przewodnictwem Dennisa Gaitsgory'ego i Sama Raskina dokonał czegoś, co wielu uważa za jeden z najważniejszych przełomów w matematyce ostatnich dekad. Udowodnili geometryczną hipotezę Langlandsa w pracy rozciągającej się na ponad 800 stron w pięciu artykułach. To osiągnięcie, które zajęło trzy dekady, stanowi kluczowy krok w kierunku tego, co Edward Frenkel nazywa wielką zunifikowaną teorią matematyki. Cała ta historia zaczęła się od 17-stronicowego odręcznego listu, który Robert Langlands napisał do André Weila w 1967 roku, mając zaledwie 30 lat i wizję, że pozornie niepowiązane obszary matematyki są w rzeczywistości głęboko ze sobą połączone.

Program Langlandsa działa jak matematyczny kamień z Rosetty, łącząc trzy fundamentalne domeny: teorię liczb (zajmującą się liczbami pierwszymi i arytmetyką), geometrię (opisującą kształty i powierzchnie) oraz ciała funkcji (uogólnienia równań wielomianowych). Geometryczna hipoteza Langlandsa ustanawia korespondencję między dwoma matematycznymi światami - stroną spektralną, która zawiera reprezentacje grup fundamentalnych powierzchni Riemanna, oraz stroną automorficzną z jej specjalnymi obiektami geometrycznymi zwanymi "eigensheaves" (nie wiem, jak to będzie w polskiej nomenklaturze topologicznej - snop równania własnego brzmi bardzo odlotowo). To trochę jak z transformacją Fouriera, która rozkłada złożone fale dźwiękowe na składowe częstotliwości, tylko że tutaj mamy do czynienia z o wiele bardziej skomplikowanymi falami geometrycznymi.

Dowód wymagał stworzenia niezwykle wyrafinowanego aparatu matematycznego, który zespół budował przez dziesięciolecia zgodnie z filozofią "podnoszącego się morza" Alexandra Grothendiecka. Czyli budowania aparatu teoretycznego od dołu, od szczegółu do ogółu.
Dlaczego ten dowód nazywany jest krokiem w kierunku wielkiej zunifikowanej teorii matematyki? Odpowiedź tkwi w tym, że pokazuje on fundamentalną jedność pozornie niezwiązanych konceptów matematycznych. Geometryczna hipoteza Langlandsa dostarcza matematycznego słownika, który pozwala badaczom atakować problemy w tym obszarze matematyki, który jest najkorzystniejszy dla danego zagadnienia. To nie tylko abstrakcyjna teoria - ma połączenia z fizyką teoretyczną, szczególnie z teorią pola kwantowego i teorią strun, a także potencjalne zastosowania w informatyce kwantowej i kryptografii.

Choć ten dowód stanowi monumentalne osiągnięcie, mimo że daje nadzieję na pełną unifikację, to obnaża również mnogość zagadnień, które trzeba jeszcze opisać, by zbliżyć się do tego celu.

Świeży artykuł w Nature (bo te wszystkie papiery przeczytał już ktoś poza autorami, przede wszystkim recenzenci :grinning: ) - https://www.nature.com/articles/d41586-025-02197-3#ref-CR5
Pierwsza część dowodu - https://arxiv.org/abs/2405.03599 (resztę znajdziecie sobie, jak przebrniecie przez ten wstęp)

#matematyka #ciekawostki #nauka #dzikamatematyka

Dzika matematyka

https://www.youtube.com/watch?v=sbU_cGZ9B74

Wczoraj, uraczyłem Was tym wpisem o odwzorowaniu logistycznym. Najwidoczniej, #niemraodfizy , Sabina, zgapiła pomysł i opublikowała 10 ciekawostek matematycznych na swoim kanale. Włączając w to odwzorowanie logistyczne.
No plagiat jak nic :rolling_on_the_floor_laughing:.

Na te matematyczne ciekawostki zakładam tag #dzikamatematyka, żeby można było blokować to nudziarstwo.
#matematyka #nauka #ciekawostki #dzikamatematyka

#matematyka #magicthegathering #heheszkinauka &źródło

Chaos ab ordine - odwzorowanie logistyczne

Z mojej perspektywy ta historia zaczęła się w zamierzchłych czasach, cztery dekady temu. To portal starych ludzi, więc niektórzy z tutejszych bywalców spędzali wtedy czas na rzucaniu kamieniami w brontozaury pod czujnym i pamiętliwym okiem przyszłej premier Kopacz, inni próbowali ujeżdżać welociraptory, jeszcze inni łowili amonity. A ja? Wrzaski latających pterodaktyli mnie przerażały, więc czytałem sobie przy tłuszczowym kaganku magiczne znaki wydrapane na łupkowych płytach.

Jedną z książek, które straszliwie mnie wtenczas skrzywiły i spowodowały, że już nigdy nie spojrzałem na matematykę tak, jak przedtem, była ta o temacie dzisiejszej opowieści.

Wszystko zaczyna się niewinnie. Od pytania o to, jak opisać rozwój populacji. W XIX wieku belgijski matematyk Pierre François Verhulst próbował zrozumieć, jak rzeczywiście rosną populacje w świecie ograniczonych zasobów. Zauważył, że modele wykładniczego (eksponencjalnego) wzrostu, choć eleganckie matematycznie, nie odzwierciedlają rzeczywistości – żadna populacja nie może rosnąć w nieskończoność. Wpadł on wtedy na pewien pomysł - wprowadził do równania "hamulec" w postaci czynnika konkurencji. Gdy populacja jest mała, może się rozwijać niemal swobodnie, ale gdy zbliża się do pojemności środowiska, wzrost zwalnia. Równanie [1] (równania zamieszczam na pierwszym obrazku, bo nie mogę ich wpisać w edytorze w LaTeX jak normalny człowiek, tylko muszę kombinować).

Wiele lat później, w latach siedemdziesiątych XX wieku biolog Robert May przekształcił tę ideę w dyskretne odwzorowanie, które dzisiaj znamy jako odwzorowanie logistyczne - równanie [2]. Dla niewtajemniczonych, "dyskretne" w matematyce nie oznacza czegoś nie rzucającego się w oczy - oznacza zaś proces nieciągły, krokowy, którego następny krok zależy od poprzedniego. Tak, jak w równaniu [2] gdzie lewa strona to stan krok dalej od prawej. Matematyka dyskretna to cały zestaw działów matematyki zajmujących się procesami opartymi o zbiory przeliczalne. Nie będę wnikał głębiej, ale dość wiedzieć, że te maszyny, którymi się posługujemy, smartfony, komputery, działają właśnie dzięki zasadom określonym przez matematykę dyskretną.

Wracając jednak do wzoru Maya - zmienna x w kroku poprzedzającym reprezentuje populację w danym momencie (jako ułamek maksymalnej możliwej, arbitralnie przyjętej populacji), r to parametr wzrostu – kombinacja współczynnika urodzeń i śmiertelności. Gdy r jest małe, populacja po prostu wymiera. Gdy jest większe, ale nie za duże, ustala się na stabilnym poziomie. Ale gdy r przekracza pewne magiczne wartości... wtedy zaczyna się jazda.

Anatomia chaosu

Aby zrozumieć, co się dzieje, stwórzmy sobie diagram bifurkacyjny (drugi obrazek) – odwzorowanie logistyczne, które pokazuje długoterminowe zachowanie systemu w zależności od parametru r. Proces tworzenia takiego diagramu jest prosty: dla każdej wartości r startujemy z dowolną populacją początkową, iterujemy (powtarzamy krok po kroku) równanie setki razy, czekamy aż system się "ustabilizuje", a potem rysujemy punkty reprezentujące wartości, które nam z równania wyszły.

Na początku, gdy r jest mniejsze od 1, widzimy pustą przestrzeń – populacja po prostu wymiera i dąży do 0. Gdy r przekracza 1, pojawia się pojedyncza linia reprezentująca stabilny punkt stały. System znalazł swoją równowagę. Ale przy r równym 3 dzieje się coś nieoczekiwanego – linia się rozdziela.

To pierwszy moment zaskoczenia: bifurkacja (czyli rozdzielenie - tylko tak mądrzej). System nie może już zdecydować się na jedną wartość i zaczyna oscylować między dwoma. Jeszcze nic niezwykłego, równania mogą mieć więcej, niż jedno rozwiązanie, to wiemy ze szkoły, choć fakt, że populacja rośnie i maleje w regularnym cyklu, jakby nie mogła znaleźć sobie miejsca jest nieco niepokojący. Ale to dopiero początek.

Gdy r rośnie dalej, następuje kolejna bifurkacja przy około 3.45. Dwie linie stają się czterema – system oscyluje teraz między czterema wartościami. Potem przy około 3.54 mamy osiem wartości, przy 3.56 szesnaście, i tak dalej. To jest słynna kaskada podwajania okresu – jeden z najciekawszych przykładów drogi do chaosu.

Próg 3.57

W okolicach r = 3.56995 dzieje się coś naprawdę dramatycznego. Regularne wzorce nagle znikają, zastąpione przez pozornie przypadkowe zachowanie. To jest próg chaosu – moment, w którym system traci wszelką przewidywalność w długiej perspektywie. Populacja skacze chaotycznie, nigdy nie powtarzając dokładnie tego samego wzorca.

Ale chaos nie oznacza całkowitego braku struktury. Gdy patrzymy na gęstość punktów w chaotycznym reżimie, odkrywamy, że mają one określony rozkład. Dla r = 4 ten rozkład można nawet dokładnie obliczyć matematycznie – to krzywa w kształcie odwróconej litery U, która pokazuje, że niektóre wartości populacji są bardziej prawdopodobne niż inne.

Co więcej, system wykazuje właściwość zwaną przejściowością topologiczną. Oznacza to, że można znaleźć warunki początkowe, dla których orbita systemu przejdzie arbitralnie blisko każdego punktu w dozwolonym obszarze. To matematyczny sposób powiedzenia, że chaos jest rzeczywiście wszędzie.

Wyspy stabilności

Jednym z najbardziej zaskakujących odkryć było to, że nawet w chaotycznym reżimie istnieją małe "wyspy stabilności". Około r = 3.83 system nagle wraca do regularnego zachowania, oscylując między trzema wartościami.

Te wyspy nie są przypadkowe. Wynikają z głębokiej twierdzenia Szarkowskiego, które mówi, że jeśli system ma cykl o okresie 3, to może mieć cykle o każdym innym okresie. "Okres 3 implikuje chaos" – to jedna z najsłynniejszych fraz w teorii chaosu.

Samopodobieństwo

Gdy powiększymy diagram bifurkacyjny, odkrywamy jedną z najciekawszych właściwości odwzorowania logistycznego: samopodobieństwo. Małe fragmenty diagramu wyglądają jak pomniejszone kopie całości. To jest typowa cecha fraktali – struktur, które wyglądają podobnie na każdej skali.

Ta samopodobność nie jest przypadkowa. Wynika z praw matematycznych, które zostały odkryte przez fizyka Mitchella Feigenbauma w latach 70. Feigenbaum zauważył, że odstępy między kolejnymi bifurkacjami zmniejszają się w określonym tempie, opisywanym przez uniwersalną stałą delta = 4.669201609... Ta stała, znana dzisiaj jako stała Feigenbauma, pojawia się w zupełnie różnych systemach chaotycznych – od obwodów elektrycznych po reakcje chemiczne. I o niej może kiedy napiszę coś więcej.

Zbiór Cantora

O zbiorze Cantora może się również kiedyś jeszcze rozpiszę, tu będzie tylko wzmianka.

Gdy r przekracza 4, odwzorowanie logistyczne pokazuje swoją prawdziwą, chaotyczną naturę. Większość punktów startowych prowadzi do orbit, które uciekają do nieskończoności. Ale te punkty, które zostają w przedziale od 0 do 1, tworzą niezwykłą strukturę zwaną zbiorem Cantora.

Zbiór Cantora powstaje przez iteracyjne usuwanie środkowych trzecich części z przedziałów. Zaczynamy od odcinka jednostkowego usuwamy środkową jedną trzecią, zostają nam więc dwa odcinki. Z każdego z nich znowu usuwamy środkową trzecią, i tak dalej. W granicy (nieskończoności) otrzymujemy zbiór, który jest nigdzie gęsty (ma "dziury" wszędzie), ale jednocześnie nieprzeliczalny – zawiera więcej punktów niż liczby naturalne.

To jest struktura, w której "żyje" chaos dla r > 4. Chaotyczne orbity mogą ten zbiór eksplorować w nieskończenie skomplikowany sposób.

Związek z Mandelbrotem

Jednym z najpiękniejszych odkryć było to, że odwzorowanie logistyczne jest ściśle związane z najsłynniejszym chyba fraktalem świata – zbiorem Mandelbrota. Przez odpowiednią transformację współrzędnych można pokazać, że iteracja jednego równania jest równoważna iteracji drugiego.

Oznacza to, że główny "korpus" zbioru Mandelbrota zawiera w sobie całą dynamikę odwzorowania logistycznego. Wszystkie te bifurkacje, podwajanie okresu, chaotyczne regiony i wyspy stabilności – wszystko to jest tam, w geometrii zbioru Mandelbrota.

I co dalej?

Dalej jest całe piękno matematyki, groźne, czasem przytłaczające, ale fascynujące. Tutaj tylko liznęliśmy nieco po wierzchu.

Odwzorowanie logistyczne stało się jednym z najważniejszych przykładów w teorii chaosu. Pokazało, że deterministyczne, niby przewidywalne, systemy mogą wykazywać nieprzewidywalne zachowanie, że proste równania mogą generować nieskończenie skomplikowane wzorce, i że chaos ma swoją własną, głęboką strukturę matematyczną.

Matematyka nie jest tylko abstrakcyjną grą, ale językiem, którym natura opisuje swoje tajemnice. A my ten język jedynie odczytujemy, bo, cytując Benoit Mandelbrota: "Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawica nie porusza się po linii prostej".

Wpis z wiki po angielsku (lepszy) - https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
Wpis z wiki po polsku (marny) - https://pl.wikipedia.org/wiki/Odwzorowanie_logistyczne
Równanie logistyczne (polski) - https://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mbm&part=Ch2

#matematyka #nauka #ciekawostki

Obwód elipsy

https://www.chrisrackauckas.com/assets/Papers/ChrisRackauckas-The_Circumference_of_an_Ellipse.pdf

Z początku chciałem to przywołać jako argument w wątku o trzech nierozwiązanych problemach fizyki, ale zasługuje to na odrębny wpis.
Istnieją problemy, które są trudne, bądź o których wiemy, że są nierozwiązywalne.
Wielu z Was od razu pomyśli o jakiś problemach z kategorii pomiędzy fizyką kwantową i ezoteryką. I to jest błąd.

Zapewne pamiętacie z czasów szkolnych sposób na rysowanie elipsy. Trzy ołówki/patyki i sznurek. Dwa wbijamy w piasek, sznurek ma mieć długość większą, niż ta pomiędzy wbitymi. Trzecim wiedziemy tak, by sznurek był napięty. I voila - jest elipsa.
To teraz trzebaby umieć policzyć jej obwód, to pewnie banał, jak w innych figurach geometrycznych. Coś, pomnożyć przez coś, jakieś PI i po kłopocie...?
No kurde nie. Nie ma takiego wzoru, który możnaby wyrazić w funkcjach elementarnych. Jest wzór, który zasadza się na całkach eliptycznych drugiego stopnia, ale jest nieredukowalny do funkcji elementarnych (można to udowodnić korzystając z twierdzenia Liouville'a). Co więcej, obliczenie tych całek musi być numeryczne, więc zawsze jest błąd precyzji tychże.

Czy można z tym żyć? No można, ale co to za życie. Dość pomyśleć, że taki Sławosz pomykał po orbicie eliptycznej. Że też się gość nie bał kumulacji błędu operacji zmiennoprzecinkowych 😁.

Reasumując, rzeczywistość bywa tajemnicza i nieprzewidywalna dużo bliżej nas, niż sie wydaje.

#nauka #matematyka #ciekawostki

P.S.1: Przypadkiem szczególnym jest, gdy ogniska elipsy są tożsame, D1=D2. Wtedy mamy okrąg. I to jedyny przypadek, w którym można wyliczyć obwód używając funkcji elementarnych. Też nie możemy tego zrobić z praktycznie dowolną dokładnośćią, bo liczba PI ssie.
P.S.2: To mój ulubiony przykład. Innym jest banalne na pozór odwzorowanie logistyczne. Może o nim kiedyś napiszę. Ale jest tego sporo więcej.

Jak będzie wyglądała cieplna śmierć wszechświata? Czy czarne dziury mogą parować? Kiedy Słońce stanie się białym karłem? Dlaczego matematykom wiecznie towarzyszy uczucie frustracji? #nauka #fizyka #ciekawostki #matematyka

Humor matematyków :grinning:
Swoją drogą polecam książkę. Jestem w połowie, ale z każdą chwilą jak do niej wracam czuję się jak idiota
#humor #matematyka

https://lubimyczytac.pl/ksiazka/4959691/przygody-matematyka-autobiografia

Czerstwy mem

#matematyka #memy

Rozbawiło mnie to :smiley:
#heheszki #humorobrazkowy #matematyka

Kartezjusz kontra spinory

Kartezjusza zna pewnie każdy i każdy czytał jego Discours de la méthode. W każdym razie tak by było w idealnym świecie materialistów. Na szczęście, prace tego bluźniercy były na indeksie ksiąg zakazanych aż do 1966 roku, dzięki czemu wiele duszyczek nie poznało jego ohydnych poglądów i osiągnięć. Zupełnie nie mogę zrozumieć, dlaczego w Polsce używa się kartezjańskiego (sic!) układu współrzędnych. Myślę, że powinien zostać zakazany (tu emotka szczerzenia zębów, bo emotki spadły z rowerka).

Jego obrzydliwe pomysły niestety przetrwały, zatruwając umysły biednych matematyków (i nie tylko nich). Do tego stopnia, że opublikowali niedawno rozwiązanie trzystuosiemdziesięcioletniego problemu przez tegoż heretyka sformułowanego. Problem dotyczy wzajemnego stosunku promieni stykających się ze sobą okręgów na płaszczyźnie. Do tego roku nie było znane rozwiązanie generalizujące dla dowolnej liczby okręgów. A teraz już jest znane, dzięki autorom przywołanej pracy i spinorom.

Czymże są spinory? Że to czarci pomiot, to chyba oczywiste, tym bardziej, że wywodzi się z opisu zjawisk kwantowych (tak, spin). Spinory to takie coś podobnego do wektorów, z tym że w przestrzeni zespolonej i zachowujące się odmiennie niż ich normalni bracia, bo po obrocie układu współrzędnych o 360 stopni zmieniają znak. I dopiero przy obrocie o 720 stopni wracają do pierwotnego stanu (wektor obrócony o 360 stopni jest tym samym wektorem). Najłatwiej wyobrazić je sobie rozmieszczone na wstędze Möbiusa prostopadle do niej. O, tak jak na tym obrazku z wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor#/media/File:Spinor_on_the_circle.png .

Artykuł popularny - https://interestingengineering.com/innovation/mathematicians-solve-380-year-old-puzzle
Praca źródłowa

#matematyka #fizyka #ciekawostki #nauka